Question

已知函數f (x)=a^x+2-1（a>0，且a≠1）的反函數為．
（1）求；（注意：指數為x+2）
（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；
（3）設函數，求不等式g(x)≤對任意的恒成立的x的取值范圍．

Answer 1

（1）=log_a(x+1)-2(x>-1)．（2）或．
（3）滿足條件的x的取值范圍為．

本題考查反函數，考查函數的最值及其幾何意義，考查函數恒成立問題，綜合性強，考查化歸思想、方程思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題
（1）由y="f" （x）=a^x+2-1，求得x=log_a（y+1）-2，即可得f^-1（x）；
（2）對底數a分a＞1與0＜a＜1兩類討論，分別求得其最大值與最小值，利用f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；
（3）由題意可得 轉化為不等式x²≤a³+1對任意的恒成立，從而可求得x的取值范圍。