Question

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1　幾何證明選講
如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．選修4-2　矩陣與變換
若點A（2，2）在矩陣M=

cosα -sinα sinα cosα

對應變換的作用下得到的點為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣．
C．選修4-4　坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，
曲線C₁：ρcos(θ+

π

4

)=2

2

與曲線C₂：

x=4t2 y=4t

（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．選修4-5　不等式選講
已知x，y，z均為正數．求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

分析：A、先證明∠PDF=∠OCP，再利用公共角，即可證明三角形相似；
B、利用矩陣的乘法，可得矩陣，再求其逆矩陣即可；
C、化極坐標方程為直角坐標方程，再將直線方程代入拋物線方程，利用向量知識可以證明；
D、利用基本不等式可得三個不等式，再相加，即可證得結論．

解答：A．選修4-1　幾何證明選講
證明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，…（3分）
又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，
從而∠PDF=∠OCP．…（8分）
在△PDF與△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，
故△PDF∽△POC．…（10分）
B．選修4-2　矩陣與變換
解：M

2 2

=

-2 2

，即

2cosα-2sinα 2sinα+2cosα

=

-2 2

，…（4分）
所以

cosα-sinα=-1 sinα+cosα=1.

解得

cosα=0 sinα=1.

…（6分）
所以M=

0 -1 1 0

．由M^-1M=

1 0 0 1

，得M-1=

0 1 -1 0

．…（10分）
另解：M=

.

0 -1 1 0

.

=1≠0，M-1=

0 1 -1 0

．
另解：M=

0 -1 1 0

=

cos90° -sin90° sin90° cos90°

，看作繞原點O逆時針旋轉90°旋轉變換矩陣，于是M-1=

cos(-90°) -sin(-90°) sin(-90°) cos(-90°)

=

0 1 -1 0

．
C．選修4-4　坐標系與參數方程
解：曲線C₁的直角坐標方程x-y=4，曲線C₂的直角坐標方程是拋物線y²=4x，…（4分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將這兩個方程聯立，消去x，得y²-4y-16=0，
∴y₁+y₂=4，y₁y₂=-16．…（6分）
∴x₁x₂=（y₁+4）（y₂+4）=y₁y₂+4（y₁+y₂）+16=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0．…（8分）
∴

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB．…（10分）
D．選修4-5　不等式選講
證明：因為x，y，z都是為正數，所以

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

)≥

2

z

．…（4分）
同理可得

z

xy

+

y

zx

≥

2

x

，

x

yz

+

z

xy

≥

2

y

，
當且僅當x=y=z時，以上三式等號都成立．…（7分）
將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．…（10分）

點評：本題考查選講知識，考查學生分析解決問題的能力，知識點綜合，有難度．