Question

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
21-1．（選修4-2：矩陣與變換）
設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．
21-2．（選修4-4：參數方程）
以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為（1，-5），點M的極坐標為（4，

π

2

），若直線l過點P，且傾斜角為 

π

3

，圓C以M為圓心、4為半徑．
（1）求直線l關于t的參數方程和圓C的極坐標方程；
（2）試判定直線l和圓C的位置關系．

Answer 1

分析：21-1．（選修4-2：矩陣與變換）
（1）由M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換，可得矩陣M，進而根據矩陣特征值和特征向量的定義得到矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）根據（1）中M求出M^-1，結合橢圓方程

x2

4

+

y2

9

=1，可得在M^-1的作用下的新曲線的方程．
21-2．（選修4-4：參數方程）
（1）根據P點坐標及直線l的傾斜角，可求出直線l的參數方程，根據點M的極坐標及圓C以M為圓心、4為半徑可求出圓C的極坐標方程；
（2）求出直線l和圓C的普通方程，代入點到直線距離公式，求出圓心M到直線l的距離，與圓的半徑進行比較后，可判斷直線與圓的位置關系．

解答：解：21-1．（選修4-2：矩陣與變換）
（1）∵M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換
∴矩陣M=

.

2 0 0 3

.

，
∴它的特征值為2和3，
∴對應的特征向量為

.

1 0

.

及

.

0 1

.

；
（2）M^-1=

.

1 2 0 0 1 3

.

，
橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．
解：21-2．（選修4-4：參數方程）
（1）∵P的直角坐標為（1，-5），
直線l過點P，且傾斜角為 

π

3

，
直線l的參數方程為

x=1+ 1 2 t y=-5+ 3 2 t

，
又∵圓C以M為圓心、4為半徑
圓C的極坐標方程為ρ=8sinθ．
（2）因為M（4，

π

2

）對應的直角坐標為（0，4），
直線l的普通方程為

3

x-y-5-

3

=0，
∴圓心到直線l的距離d=

|0-4-5- 3 |

3+1

=

9+ 3

2

＞5，
所以直線l與圓C相離．

點評：本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，特征值，特征向量的求法，簡單曲線的極坐標方程，難度中檔．