己知函數
.
(I)若
是，
的極值點，討論的單調性；
(II)當
時，證明：
.
（I)當
，單調遞增；當
時單調遞減； (II)證明過程如下解析.
解析試題分析：（I)由是函數的極值點，可得
，進而可得
，進而分析
的符號，進而可由導函數的符號與函數單調性的關系，可得函數的單調性；
（II) 要求
，不易證明.但當時
，進而轉化證明
.可由圖像法確定
零點
的位置
及
進而確定的單調性及
，得證.
試題解析：(I) 因為，所以
，且
.又因是，的極值點，所以，解得，所以
，
.另
得，此時單調遞增；當
時，解得，此時單調遞減.
（II) 當時，
，所以.令
，只需證 .令
，即
，由圖像知解唯一，設為，則，.所以當
時，
，單調遞增；當
時，
，單調遞減.所以
，因為，所以
.綜上，當時，.
考點：1，導數與函數單調性；2含參不等式的證明.
培優三好生系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，某自來水公司要在公路兩側鋪設水管，公路為東西方向，在路北側沿直線鋪設線路l1，在路南側沿直線鋪設線路l2，現要在矩形區域ABCD內沿直線將l1與l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側鋪設水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設水管的費用為每米2萬元，設∠EFB= α,矩形區域內的鋪設水管的總費用為W．
（1）求W關于α的函數關系式；
（2）求W的最小值及相應的角α．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某出版社新出版一本高考復習用書，該書的成本為5元/本，經銷過程中每本書需付給代理商m元（1≤m≤3）的勞務費，經出版社研究決定，新書投放市場后定價為
元/本（9≤≤11），預計一年的銷售量為
萬本．
(1)求該出版社一年的利潤
（萬元）與每本書的定價的函數關系式；
(2)當每本書的定價為多少元時，該出版社一年的利潤最大，并求出的最大值
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
.
（1）當
，
時，求函數
的最大值；
（2）令
，其圖象上存在一點
，使此處切線的斜率
，求實數
的取值范圍；
（3）當
，
時，方程
有唯一實數解，求正數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
若函數
在x = 0處取得極值．
(1) 求實數
的值；
(2) 若關于x的方程
在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數
的取值范圍；
(3)證明：對任意的正整數n，不等式
都成立．
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．
時，求函數
的單調區間；
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
（
，e是自然對數的底數）.
，
的單調區間；
內的最小值為
，求
的值.（參考數據
）
.
在
處取得極大值，求實數
的值；
，求
上的最大值.
，
.
的單調遞增區間；
，
，
，
為函數
，
兩點的直線
的斜率恒大于
，求
的取值范圍.