Question

某漁場中魚群的最大養殖量為2噸，為保證魚群的生長空間，實際養殖量不能達到最大養殖量，必須留出適當的空閑量．已知魚群的年增長量y噸和魚群實際養殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數為

1

2

．（空閑率是空閑量與最大養殖量的比值）
（1）寫出y關于x的函數關系式；并指出這個函數的定義域．
（2）求魚群年增長量的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出空閑率，再利由魚群的年增長量y噸和實際養殖量x噸與空閑率的乘積成正比，即可得到y關于x的函數關系式，及這個函數的定義域；
（2）由（1）中給出的y關于x的函數關系式，利用基本不等式，即可求魚群年增長量的最大值．

解答：解：（1）由題意，空閑率為1-

x

2

，
∴y=

1

2

x（1-

x

2

），定義域為（0，2）；
（2）由（1）得y=

1

2

x（1-

x

2

）
∵x∈（0，2），∴1-

x

2

∈（0，1）
∴y=

1

2

x（1-

x

2

）≤(

x 2 +1- x 2

2

)2=

1

4

，當且僅當

1

2

x=1-

x

2

，即x=1時，取等號
∴x=1時，y_max=

1

4

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．