Question

漁場中魚群的最大養殖量為m噸，為保證魚群的生長空間，實際養殖量不能達到最大養殖量，必須留也適當的空閑量．已知魚群的年增長量y噸和實際養殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數為k（k＞0）．（空閑率為空閑量與最大養殖量的比值）．
（1）寫出y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；
（2）求魚群年增長量的最大值；
（3）當魚群的年增長量達到最大值值時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由魚群的年增長量y噸和實際養殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數為k（k＞0）．我們根據題意求出空閑率，即可得到y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；
（2）由（1）中給出的y關于x的函數關系式，我們使用配方法，易分析出魚群年增長量的最大值；
（3）由（2）的結論，我們可構造出一個關于k的含參數m的不等式，根據m的取值范圍，解不等式后即可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，空閑率為 1-

x

m

，
∴y=kx（1-

x

m

），定義域為（0，m）；
（2）由（1）得
y=kx（1-

x

m

）=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

，
因為 x∈（0，m），k＞0；
所以當x=

m

2

時，ymax=

km

4

（3）由題意有 0＜x+y＜m
即：0＜

m

2

+

km

4

＜m
因為m＞0，解得-2＜k＜2
又k＞0
故k的取取值范圍為（0，2）．

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．