Question

正四棱錐V-ABCD的五個頂點在同一個球面上，若其底面邊長為4，側棱長為2

6

，則（　　）

• A．球的表面積為18π
• B．AB兩點的球面距為3arccos

  1

  9

• C．VA兩點的球面距為3

  2

  arccos

  1

  3

• D．球的體積

  3

  2

  π

Answer 1

分析：設球的半徑為R，利用正四棱錐的性質和球的性質，結合勾股定理列方程，解之得球半徑為3．然后根據球的表面積公式和體積公式進行計算，可得A、D兩項不正確；根據余弦定理和球面距離的公式，通過計算可得B正確，而C不正確．

解答：解：設外接球球心為O，正方形ABCD中心為O₁，連接VO₁，則球心O在VO₁上，連接AC、OA、OB
∵正方形ABCD邊長為4，∴對角線AC=4

2

，O₁A=

1

2

AC=2

2

∵VO₁⊥平面ABCD，
∴Rt△VO₁A中，VO₁=

VA2-O1A2

=

24-8

=4
設外接球半徑為R，則Rt△OO₁A中，OA=R，O₁O=4-R
∴R²=（4-R）²+（2

2

）²，解之得：R=3
因此，球的表面積為S=4π×3²=36π，故A不正確；
△AOB中，cos∠AOB=

32+32-42

2×3×3

=

1

9

，故∠AOB=arccos

1

9

，所以AB兩點的球面距為R×∠AOB=3arccos

1

9

，故B正確；
類似B的方法，可得VA兩點的球面距為3arccos（-

1

3

），故C不正確；
由球的體積公式，得V_球O=

4

3

π×33=36π，故D不正確．
故選B

點評：本題已知球內接正四棱錐的底面邊長和側棱長的情況下，求球的表面積、體積和球面距離，著重考查了正四棱錐的性質和球的性質，余弦定理和反三角函數的應用等知識點，屬于中檔題．