Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）已知函數f(x)=sinx•cosx-

3

cos2x+sinB，求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）把已知的等式變形，利用正弦定理化簡，再根據兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式進行變形，根據sinA不為0，在等式兩邊同時除以sinA，得到cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（Ⅱ）利用二倍角公式即輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數的單調增區間，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）∵（2a+c）cosB+bcosC=0
∴由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0．…3分
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴cosB=-

1

2

，
∵B為三角形的內角，∴B=

2π

3

…（6分）
（Ⅱ） f(x)=sinx•cosx-

3

cos2x+sin

2π

3

=

1

2

sin2x-

3

2

(2cos2x-1)=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

(k∈Z)
故f（x）的單調遞增區間為：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)…（12分）

點評：本題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，考查三角函數的化簡，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．