Question

已知y=f（x）函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移

π

6

個單位；
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

；
③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：將y=sinx向左平移

π

6

個單位，得到y(tǒng)=sin（x+

π

6

），縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

，變形為y=sin（2x+

π

6

），橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，變形為y=2sin（2x+

π

6

），得到f（x）的解析式，
（1）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸為kπ+

π

2

，k∈Z，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到f（x）的對稱軸；
（2）由f（C）=2，將x=C代入f（x）解析式中，使其值等于2，整理后根據(jù)C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值，求出C的度數(shù)，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，利用完全平方公式變形后，將c，cosC及ab的值代入，求出a²+b²=7，與ab=2

3

聯(lián)立，根據(jù)a大于b，即可求出a與b的值．

解答：解：（Ⅰ）由變換得：f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∵ω=2，
∴T=

2π

2

=π；
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得對稱軸為x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=2得：2sin（2C+

π

6

）=2，即sin（2C+

π

6

）=1，
又C為三角形內(nèi)角，
∴2C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

6

，
∴cosC=

3

2

，又c=1，ab=2

3

，
在△ABC中，根據(jù)余弦定理，有c²=1=a²+b²-2abcosC=a²+b²-2×2

3

×

3

2

，
整理得：a²+b²=7，與ab=2

3

聯(lián)立，且a＞b，
解得：a=2，b=

3

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：余弦定理，三角函數(shù)的圖象變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．