Question

如圖，在南北方向有一條公路，一半徑為100m的圓形廣場（圓心為O）與此公路一邊所在直線l相切于點A．點P為北半圓弧（弧APB）上的一點，過P作直線l的垂線，垂足為Q．計劃在△PAQ內（圖中陰影部分）進行綠化．設△PAQ的面積為S（單位：m²）．
（1）設∠BOP=α（rad），將S表示為α的函數；
（2）確定點P的位置，使綠化面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

分析：（1）若∠BOP=α，則P點坐標（x，y）中，x=AQ=100sinα，y=PQ=100+100cosα，α∈（0，π），根據三角形面積公式，我們易將S表示為α的函數．
（2）由（1）中結論，我們可利用導數法，判斷函數的單調性，進而求出函數的最大值，即最大綠化面積．

解答：解：（1）AQ=100sinα，PQ=100+100cosα，α∈（0，π），
則△PAQ的面積S=

1

2

AQ•PQ=

1

2

×100sinα×(100+100cosα)
=5000（sinα+sinαcosα），（0＜α＜π）．
（2）S^/=5000（cosα+cos²α-sin²α）
=5000（2cos²α+cosα-1）
=5000（2cosα-1）（cosα+1），
令S/=0，得cosα=

1

2

，cosα=-1（舍去），此時α=

π

3

．
當0＜α＜

π

3

時，

1

2

＜cosα＜1，S/＞0，S關于α為增函數；
當

π

3

＜α＜π時，-1＜cosα＜

1

2

，S/＜0，S關于α為減函數．
∴當α=

π

3

時，Smax=3750

3

（m²），此時PQ=150m．
答：當點P距公路邊界l為150m時，綠化面積最大，Smax=3750

3

m2.

點評：本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數的模型，及利用導數計算，閉區間上函數的最值．在構造函數時，一定要根據P為北半圓弧（弧APB）上的一點，限制0＜α＜π，這是本題中易忽略的點．