Question

【題目】設函數f（x）= ﹣
（1）證明函數f（x）是奇函數；
（2）證明函數f（x）在（﹣∞，+∞）內是增函數；
（3）求函數f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：函數f（x）的定義域為R，

∵f（x）= ﹣ = ，

則f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

即函數f（x）是奇函數

（2）證明：∵y=2x+1是增函數，

∴y=﹣ 是增函數，f（x）= ﹣ 在（﹣∞，+∞）內是增函數

（3）解：∵f（x）= ﹣ 在（﹣∞，+∞）內是增函數，

∴函數f（x）在[1，2]上也是增函數，

即f（1）≤f（x）≤f（2），

即 ≤f（x）≤ ，

即此時函數的值域為[ ， ]

【解析】（1）根據函數的奇偶性的定義即可證明函數f（x）是奇函數；（2）根據函數單調性的性質即可證明函數f（x）在（﹣∞，+∞）內是增函數；（3）利用函數單調性的性質即可求函數f（x）在[1，2]上的值域．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．