Question

【題目】設函數f（x）=x2ex
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若x∈[﹣2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x（x+2）ex，

令f′（x）＞0，解得：x＜﹣2或x＞0，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，

∴函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），遞減區間為[﹣2，0]．

（2）解：

x	﹣2	（﹣2，0）	0	（0，2）	2
f′（x）			0	+
f（x）		單減	極小值0	單增	4e2

因此x∈[﹣2，2]，f（x）的最大值是4e2，

∵x∈[﹣2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，

∴m＞4e2

【解析】（1）先求出函數的導數，通過解關于導函數的不等式，求出其單調區間即可；（2）先求出f（x）在[﹣1，2]上的單調性，從而求出函數的最大值，即可求m的取值范圍．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．