Question

【題目】已知函數f(x)=4sincos x+.

(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間;

(2)若函數g(x)=f(x)-m區間在上有兩個不同的零點x1,x2,求實數m的取值范圍,并計算tan(x1+x2)的值.

Answer 1

【答案】(1)T=π,遞增區間為(k∈Z).(2) m∈[,2),-.

【解析】

(1)先根據兩角差正弦公式展開，再根據二倍角公式以及配角公式將函數化為基本三角函數形式，最后根據正弦函數性質求最小正周期和單調遞增區間; (2)根據正弦函數圖像確定有兩解的m條件，并根據對稱性確定x1+x2值，即得tan(x1+x2)的值.

(1)f(x)=4sincos x+

=4cos x+=2sin xcos x-2cos2x+=sin 2x-cos 2x

=2sin.

∴函數f(x)的周期為T=π.

由2kπ-≤2x-≤2kπ+,

得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z).

∴f(x)的遞增區間為(k∈Z).

(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐標系中畫出函數y=f(x)=2sin上的圖象,由圖象可知,當且僅當m∈[,2)時,方程f(x)=m有兩個不同的解x1,x2,

且x1+x2=2×,故tan(x1+x2)=tan =-tan =-.