Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn).

（1）當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，P，F，A三點(diǎn)共線，且，求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)橢圓C的離心率為何值時(shí)，對(duì)任意的動(dòng)直線l，總有？

Answer 1

【答案】（1）（2）橢圓C的離心率為

【解析】

（1）當(dāng)直線與x軸平行，由，得到點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，得到的值，將點(diǎn)代入橢圓方程，得到和，從而得到所求橢圓方程；

（2）①當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，由，得到，從而得到，根據(jù)得到，從而得到離心率，②當(dāng)直線l不平行于x軸時(shí)，當(dāng)，橢圓方程轉(zhuǎn)化為，將直線l：與橢圓聯(lián)立，得到，，再對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，從而得到所求橢圓離心率為.

解：（1）當(dāng)直線與x軸平行時(shí)，即，

如圖，作軸于點(diǎn)D，

則根據(jù)，可得，

且，

解得，

又因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，

解得

所以，

所以橢圓C的方程為；

（2）①當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，

由，得

∴，又，

∴，∴，

∵，.

②當(dāng)直線l不平行于x軸時(shí)，下面證明當(dāng)，總有，

事實(shí)上，由①知橢圓可化為，

∴，

直線l的方程為，，，

由，得，

∴，

∵，

∴

.

∴，

綜上，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，對(duì)任意的動(dòng)直線l，總有.