Question

設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若a是從0、1、2、3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0、1、2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程沒有實(shí)根的概率．
（2）若a是從區(qū)間[0，3]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b=2，求上述方程沒有實(shí)根的概率．

Answer 1

由題意知本題是一個(gè)古典概型，
設(shè)事件A為“方程x²-2ax+b²=0無實(shí)根”
當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，方程x²-2ax+b²=0無實(shí)根的充要條件為
△=4a²-4b²=4（a²-b²）＜0，即a＜b
（1）基本事件共12個(gè)：（0，0）（0，1），（0，2），（1，0）（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），
（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．
事件A包含3個(gè)基本事件（0，1），（0，2）（1，2），
∴事件A發(fā)生的概率為P（A）=

3

12

=

1

4

．
（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
試驗(yàn)的所有基本事件所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋簕（a，b）|0≤a≤3，b=2}，
其中構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，b=2，a＜b}
∴所求概率為P（B）=

2

3

．