Question

設數列{a_n}是等差數列，首項為a₁，公差為d，前n項和為S_n，若數列{a_n}中任意不同兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列為“F數列”．
（1）若a₁=4，d=2，判斷該數列是否為“F數列”．
（2）若a₁，d∈N，是否存在這樣的“F數列”，使S₁₀≤70？若存在，求出所有滿足條件的數列的通項公式；若不存在，請說明理由．
（3）試問：數列{a_n}為“F數列”的充要條件是什么？給出你的結論并加以證明．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）求出a_n，利用新定義判斷數列{a_n}為“F數列”．
（2）假設存在數列{a_n}滿足條件，即10a₁+45d≤70，推出a₁和d的可能值，求解滿足條件的數列通項公式即可．
（3）結論：數列{a_n}為“F數列”的充要條件是存在整數m≥-1使a₁=md，利用證明充分性，以及證明必要性說明充要條件即可．

解答： （本小題滿分16分）
解 （1）由題意，a_n=2n+2，對于任意m，n有a_m+a_n=2（m+n+1）+2，因m+n+1∈N^*，
于是令P=m+n+1，則有a_p=2p+2∈{a_n}，
所以數列{a_n}為“F數列”．------------（4分）
（2）假設存在數列{a_n}滿足條件，即10a₁+45d≤70，則a₁和d的可能值
①d=0，a₁=0，1，2，3，4，5，6，7，此時a_n=0是“F數列”
②d=1，a₁=0，1，2  此時a_n=n-1，a_n=n，a_n=n+1均為“F數列
所以滿足條件的數列通項公式為a_n=0，a_n=n-1，a_n=n，a_n=n+1-----------------（8分）
（3）結論：數列{a_n}為“F數列”的充要條件是存在整數m≥-1使a₁=md------（10分）
證明：ⅰ） 充分性 若存在整數m≥-1使a₁=md，則任取等差數列的兩項a_s，a_t（s≠t）
因s+t≥3，m≥-1所以s+t+m-1為≥1的正整數，
于是a_s+a_t=a₁+（s-1）d+md+（t-1）d=a₁+（s+t+m-2）d=a_m+s+t-1∈{a_n}-------（12分）
ⅱ） 必要性  任取等差數列的兩項a_s，a_t（s≠t），若存在a_k使得a_s+a_t=a_k
則2a₁+（s+t-2）d=a₁+（k-1）d，于是a₁=（k-s-t+1）d，故存在m=k-s-t+1∈Z
使a₁=md，下面證明m≥-1．
當d=0，顯然成立
當d≠0，若m＜-1，則取p=-m≥-2，對不同的兩項a₁，a_p，存在a_q使a₁+a_p=a_q．
即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d，可得qd=0，這與q＞0，d≠0矛盾
故存在整數m≥-1使a₁=md-----------------------------------------（16分）

點評：本題考查新定義的應用，數列的應用，考查分析問題解決問題的能力．