Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD，O為BD的中點．
（1）求證：CD∥平面POA；
（2）若PO⊥底面ABCD，CD⊥PB，AD=PO=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：延長CO交CB于點H．

∵AD∥BC，BC=2AD，O為BD的中點

∴ ，∴DA=BH=CH，

∴四邊形DCHA為平行四邊形，即∴DC∥AO，

且AO平面POA，CD平面POA，∴CD∥平面POA；

（2）解：如圖，∵CD⊥PB，由（1）得DC∥AO，DA=BH=CH∴AO⊥OB，四邊形ABHD為菱形

∴AO⊥面POD，過O作OM⊥PD于H，連接AH，則∠AHO就是二面角A﹣PD﹣B的平面角．

∵AD=PO=2，∴BC=2，OH=1，OB=1

在Rt△CDB中，CD=AB=2，CB=4，則DB=2

在Rt△PDO中，則有POOD=PDOM，解得OM= ，

在Rt△AOM中，AM=

cos ．

∴二面角A﹣PD﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）延長CO交CB于點H，可得 ，DA=BH=CH，即四邊形DCHA為平行四邊形，DC∥CO，CD∥平面POA；（2）由（1）得DC∥AO，DA=BH=CH∴AO⊥OB，四邊形ABHD為菱形，即AO⊥面POD，過O作OM⊥PD于H，連接AH，則∠AHO就是二面角A﹣PD﹣B的平面角，求解△AOM即可
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．