精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

設y=f（x）為定義在區間I上的函數，若對I上任意兩個實數x₁，x₂都有 $數學公式$ 成立，則f（x）稱為I上的凹函數．
（1）判斷 $數學公式$ 是否為凹函數？
（2）已知函數f₂（x）=x|ax-3|（a≠0）為區間[3，6]上的凹函數，請直接寫出實數a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設定義在R上的函數f₃（x）滿足對于任意實數x，y都有f₃（x+y）=f₃（x）•f₃（y）．求證：f₃（x）為R上的凹函數．

解：（1）f（x）是凹函數，證明如下：
?x₁，x₂∈（0，+∞），∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 是凹函數
（2）∵函數f₂（x）=x|ax-3|= $\text{[math]}$
結合二次函數的圖象，要想使函數f₂（x）為區間[3，6]上的凹函數，需a＜0或 $\text{[math]}$
∴a的取值范圍為（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）證明：設?x₁，x₂∈R
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$
故f₃（x）為R上的凹函數
分析：（1）因為 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以利用均值定理即可得證
（2）利用凹函數的圖象性質及函數f₂（x）=x|ax-3|的圖象特點，可得a的取值范圍
（3）因為 $\text{[math]}$ ，利用已知抽象表達式，結合均值定理即可證明f₃（x）為R上的凹函數
點評：本題考查了抽象函數表達式的意義和作用，代數變形和邏輯推理能力，數形結合的思想方法

練習冊系列答案

5年中考試卷系列答案

大愛圖書縱向解析與命題設計中考試題精選系列答案

首師金卷重點校中考模擬測試卷系列答案

贏在起跑線快樂寒假河北少年兒童出版社系列答案

天利38套中考總復習命題規律與必考壓軸題系列答案

天利38套對接中考中考總復習系列答案

年級	高中課程	年級	初中課程
高一	高一免費課程推薦！	初一	初一免費課程推薦！
高二	高二免費課程推薦！	初二	初二免費課程推薦！
高三	高三免費課程推薦！	初三	初三免費課程推薦！
更多初中、高中輔導課程推薦,點擊進入>>

相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設y=f（x）是定義在區間（a，b）（b＞a）上的函數，若對?x₁、x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，則稱y=f（x）是區間（a，b）上的平緩函數．
（1）試證明對?k∈R3，f（x）=x²+kx+14都不是區間（-1，1）5上的平緩函數；
（2）若f（x）是定義在實數集R上的、周期為T=2的平緩函數，試證明對?x₁、x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設y=f（x）是定義在R上的函數，給定下列三個條件：
（1）y=f（x）是偶函數；
（2）y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（3）T=2為y=f（x）的一個周期．
如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個作為條件，余下一個作為結論，那么構成的三個命題中真命題的個數有

個．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設y=f（x）為定義在區間I上的函數，若對I上任意兩個實數x₁，x₂都有f(

x1+x2

)≤

[f(x1)+f(x2)]成立，則f（x）稱為I上的凹函數．
（1）判斷f(x)=

(x＞0)是否為凹函數？
（2）已知函數f₂（x）=x|ax-3|（a≠0）為區間[3，6]上的凹函數，請直接寫出實數a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設定義在R上的函數f₃（x）滿足對于任意實數x，y都有f₃（x+y）=f₃（x）•f₃（y）．求證：f₃（x）為R上的凹函數．

查看答案和解析>>