Question

設y=f（x）為定義在區間I上的函數，若對I上任意兩個實數x₁，x₂都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，則f（x）稱為I上的凹函數．
（1）判斷f(x)=

3

x

(x＞0)是否為凹函數？
（2）已知函數f₂（x）=x|ax-3|（a≠0）為區間[3，6]上的凹函數，請直接寫出實數a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設定義在R上的函數f₃（x）滿足對于任意實數x，y都有f₃（x+y）=f₃（x）•f₃（y）．求證：f₃（x）為R上的凹函數．

Answer 1

分析：（1）因為

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

(

3

x1

+

3

x2

)，所以利用均值定理即可得證
（2）利用凹函數的圖象性質及函數f₂（x）=x|ax-3|的圖象特點，可得a的取值范圍
（3）因為f3(x1)+f3(x2)=f3(

x1

2

+

x1

2

)+f3(

x2

2

+

x2

2

)，利用已知抽象表達式，結合均值定理即可證明f₃（x）為R上的凹函數

解答：解：（1）f（x）是凹函數，證明如下：
?x₁，x₂∈（0，+∞），∵

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

(

3

x1

+

3

x2

)≥

3

x1x2

≥

3

x1+x2 2

=f(

x1+x2

2

)
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，
∴f(x)=

3

x

(x＞0)是凹函數
（2）∵函數f₂（x）=x|ax-3|=

ax2-3x    ax≥3 -ax2+3x  ax＜3

結合二次函數的圖象，要想使函數f₂（x）為區間[3，6]上的凹函數，需a＜0或

a＞0 3 a ≤3

∴a的取值范圍為（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）證明：設?x₁，x₂∈R
f3(x1)+f3(x2)=f3(

x1

2

+

x1

2

)+f3(

x2

2

+

x2

2

)
=f32(

x1

2

)+f32(

x2

2

)≥2f3(

x1

2

)•f3(

x2

2

)=2f3(

x1+x2

2

)
即

f3(x1)+f3(x2)

2

≥f3(

x1+x2

2

)
故f₃（x）為R上的凹函數

點評：本題考查了抽象函數表達式的意義和作用，代數變形和邏輯推理能力，數形結合的思想方法