【題目】記
表示
中的最大值，如
.已知函數(shù)
，
.
（1）設
，求函數(shù)
在
上零點的個數(shù)；
（2）試探究是否存在實數(shù)
，使得
對
恒成立？若存在，求
的取值范圍；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
個；(2)存在，
.
【解析】
試題分析：(1)因為
,所以構造
,在定義域內求導判斷函數(shù)值為大于等于
,故
;構造函數(shù)
,求導判斷單調性,畫出圖象,求出與
的交點個數(shù)；(2)
對
恒成立,即
和
都小于
恒成立,分別參變分離,在給定范圍內求出最值,取各個
的取值范圍的交集.
試題解析：解：（1）設
，
，
令
，得
，
遞增；令
，得
，遞減.
∴
，∴
，即
，∴
.
設
，則由
得
或
.
∴
在
上遞增，在
上遞減，
∵
，
，
，∴結合
與在
上圖象可知，這兩個函數(shù)的圖象在上有兩個交點，即
在上零點的個數(shù)為2.
（2）假設存在實數(shù)
，使得
對
恒成立，
則
對恒成立，
即
對恒成立，
（i）設
，
，
令
，得
，
遞增；令
，得
，遞減.
∴
.
當
即
時，
，∴
，∵
，∴
.
故當時，
對恒成立.
當
即
時，在
上遞減，∴
.
∵
，∴
，
故當時，對恒成立.
（ii）若
對恒成立，則
，∴
.
由（i）及（ii）得
.
故存在實數(shù)，使得對恒成立，且
的取值范圍為
.
名師指導期末沖刺卷系列答案
開心蛙口算題卡系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（其中
）
(Ⅰ) 若
在其定義域內為單調遞減函數(shù)，求
的取值范圍；
(Ⅱ) 是否存在實數(shù)
，使得當
時，不等式
恒成立，如果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中
是自然對數(shù)的底數(shù)，＝2.71828…）.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
為實數(shù)）．
（1）當
時，求函數(shù)
的圖象在點
處的切線方程；
（2）設函數(shù)
（其中
為常數(shù)），若函數(shù)
在區(qū)間
上不存在極值，且存在
滿足
，求
的取值范圍；
（3）已知
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】下列結論正確的是
①在某項測量中，測量結果
服從正態(tài)分布
.若在
內取值的概率為0.35，則在
內取值的概率為0.7；
②以模型
去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設
，其變換后得到線性回歸方程
，則
；
③已知命題“若函數(shù)
在
上是增函數(shù)，則
”的逆否命題是“若
，則函數(shù)
在上是減函數(shù)”是真命題；
④設常數(shù)
，則不等式
對
恒成立的充要條件是
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】隨機抽取某中學甲、乙兩班各10名同學，測量他們的身高（單位：cm），獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.
（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高；
（2）計算甲班的樣本方差；
（3）現(xiàn)從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學，求身高為176cm的同學被抽中的概率。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某企業(yè)開發(fā)一種新產品，現(xiàn)準備投入適當?shù)膹V告費，對產品進行促銷，在一年內，預計年銷量Q（萬件）與廣告費x(萬件)之間的函數(shù)關系為
，已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每年產1萬件此產品仍需要投入32萬元，若年銷售額為
，而當年產銷量相等。
（1）試將年利潤P（萬件）表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù)；
（2）當年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，
兩點的坐標分別為
，動點
滿足：直線
與直線
的斜率之積為
.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）過點
作兩條互相垂直的射線，與（1）的軌跡分別交于
兩點，求
面積的最小值.
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