Question

【題目】已知函數（為實數）．

（1）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）設函數（其中為常數），若函數在區間上不存在極值，且存在滿足，求的取值范圍；

（3）已知，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由導數幾何意義得，先求導數，代入得切線斜率為2，因為，所以根據點斜式可得切線方程（2）不存在極值，即函數導數不變號，先求函數導數，因此或，存在性問題，轉化為對應函數最值：即由存在滿足，得，結合二次函數最值求法，即對稱軸與對應區間位置關系分類討論：①當或，；②當，；③當，，再分別求解對應不等式，得的取值范圍；（3）利用導數證明不等式，關鍵在于構造恰當的函數：，可利用導數得，因此有不等式，令，則，最后根據疊加法可證不等式

試題解析：（1）當時，，，

則，，

∴函數的圖象在點處的切線方程為：，即．

（2），由，解得，

由于函數在區間上不存在極值，所以或，

由于存在滿足，所以，

對于函數，對稱軸，

①當或，即或時，，

由，即，結合或可得：或；

②當，即時，，

由，即，結合可知：不存在；

③當，即時，；

由，即，結合可知：，

綜上可知，的取值范圍是．

（3）證明：當時，，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減，

∴在處取得最大值，

即，∴，

令，則，即，

∴ ，

故．