Question

【題目】已知動圓過定點P(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1)求動圓圓心C的軌跡方程;

(2)過點(2,0)的直線l與動圓圓心C的軌跡交于A,B兩點,求證:是一個定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設圓心的坐標為，得出，代入點的坐標，即可得到曲線C的軌跡方程；

（2）設直線方程，聯立方程組，得到，再向量的數量積的運算，即可得到結論.

(1)設動圓的圓心C(x,y),線段MN的中點為T,則|MT|==4.

由題意得|CP|2=|CM|2=|MT|2+|TC|2,∴y2+(x-4)2=42+x2,∴y2=8x,

即動圓圓心C的軌跡方程為y2=8x.

(2)證明:易知直線l的斜率不為0,

設直線l的方程為x=ky+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

聯立消去x整理得y2-8ky-16=0,Δ=64k2+64>0,可得y1+y2=8k,y1y2=-16.

又=(x1,y1),=(x2,y2),

∴·=x1x2+y1y2=(ky1+2)(ky2+2)+y1y2=k2y1y2+2k(y1+y2)+4+y1y2=-16k2+16k2+4-16=-12,

∴·是一個定值.