Question

在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊，且滿足（2b-c）cosA=acosC．
（1）求A的大��；
（2）若a=2，求△ABC的面積的最大值，并指出此時△ABC的形狀．

Answer 1

∵△ABC中，（2b-c）cosA=acosC．
∴由正弦定理，得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC
化簡整理，得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）
∵△ABC中，A+C=π-B，可得sinB=sin（A+C）
∴2sinBcosA=sinB，結合sinB＞0，將兩邊約去cosB
可得2cosA=1，cosA=

1

2

∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（2）∵a=2，A=

π

3

∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
4=b²+c²-2bccos

π

3

，即b²+c²-bc=4
∴b²+c²=4+bc≥2bc，可得bc≤4
又∵△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

∴當且僅當b=c=2時，△ABC的面積的最大值為

3

，此時△ABC是等邊三角形．