Question

【題目】已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（﹣1，0）、F2（1，0），短軸的兩個端點分別為B1 ， B2
（1）若△F1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的短軸長為2，過點F2的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓C的方程為 ．

根據題意知 ，解得 ，

故橢圓C的方程為 ．

（2）解：由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得橢圓C的方程為 ．

當直線l的斜率不存在時，其方程為x=1，不符合題意；

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x﹣1）．

由 ，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則

，

因為 ，所以 ，即

=

=

= ，解得 ，即k= ．

故直線l的方程為 或 ．

【解析】（1）由△F1B1B2為等邊三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2 ， b2 ， 則橢圓C的方程可求；（2）由給出的橢圓C的短軸長為2，結合c=1求出橢圓方程，分過點F2的直線l的斜率存在和不存在討論，當斜率存在時，把直線方程和橢圓方程聯立，由根與系數關系寫出兩個交點的橫坐標的和，把 轉化為數量積等于0，代入坐標后可求直線的斜率，則直線l的方程可求．
【考點精析】本題主要考查了一般式方程和橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．