Question

如圖所示，已知P（4，0）是圓x²+y²=36內的一點，A，B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設M的坐標為（x，y），連結OM、OA、PA．由垂徑定理和直角三角形中線的性質，化簡得|AM|²=|PM|²=|OA|²-|OM|²，利用兩點的距離公式代入數據，化簡即得M的軌跡方程．

解答：解：設M的坐標為（x，y），連結OM、OA、PA，
∵在Rt△PAB中，M是斜邊AB的中點，∴|PM|=|AM|，
∵由垂徑定理，OM⊥AB，
∴|AM|²=|OA|²-|OM|²，可得|PM|²=|OA|²-|OM|²，
可得（x-4）²+y²=36-（x²+y²）．
化簡得x²+y²-4x-10=0，即為所求AB的中點M的軌跡方程．

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡方程．著重考查了圓的方程、兩點間的距離公式、垂徑定理和直角三角形的性質等知識，屬于中檔題．