Question

如圖所示，已知P（4，0）是圓x²+y²=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：設AB的中點為R，設R的坐標為（x₁，y₁），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|² =36-（x12 +y12），再由|AR|=|PR|=

(x1-4)2+y12

，由此得到點R的軌跡方程 x12 +y12-4x₁-10=0①，設Q（x，y），因為R是PQ的中點，可得x₁=

x+4

2

，y1=

y+0

2

，代入①化簡即得所求．

解答：解：設AB的中點為R，則R也是PQ的中點，設R的坐標為（x₁，y₁），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|．
又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（x12 +y12）．
又|AR|=|PR|=

(x1-4)2+y12

，所以有（x₁-4）²+y12=36-（x12 +y12），即 x12 +y12-4x₁-10=0．
因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動．
設Q（x，y），因為R是PQ的中點，所以x₁=

x+4

2

，y1=

y+0

2

，
代入方程 x12 +y12-4x₁-10=0，得(

x+4

2

)2+(

y

2

)2-4•

x+4

2

-10=0，
整理得：x²+y²=56，這就是所求的Q點的軌跡方程．

點評：本題主要考查利用“相關點代入法”求曲線的軌跡方程，利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段AB中點R的軌跡方程．欲求Q的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻，發現不了問題的實質，很難解決此題，屬于難題．