Question

【題目】設f(x)是定義在R上的函數，對m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且當x＞0時，0＜f(x)＜1.

(1)求證f(0)＝1；

(2)求證x∈R時，恒有f(x)＞0；

(3)求證f(x)在R上是減函數．

Answer 1

【答案】(1)根據題意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，

因為f(n)≠0，所以f(0)＝1.

(2)由題意知x＞0時，0＜f(x)＜1，當x＝0時，f(0)＝1＞0，當x＜0時，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1.因為f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，所以f(x)·f(－x)＝1，

所以f(x)＝＞0.故x∈R時，恒有f(x)＞0.

(3)設x1，x2∈R，且x1＜x2，則f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，

所以f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．由(2)知f(x1)＞0，又x2－x1＞0，所以0＜f(x2－x1)＜1，

故f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)在R上是減函數．

【解析】

（1）對函數進行賦值，即可證得結論；

（2）由于已知部分定義域內函數值的范圍，故分區間討論，結合已知等式，將其他區間內的范圍與已知函數值結合討論；

（3）證明單調性需根據定義去求，假設 結合等式，構造的形式，判斷符號即可證出單調性.

證明：(1)根據題意，令m＝0，

可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，

因為f(n)≠0，所以f(0)＝1.

(2)由題意知x＞0時，0＜f(x)＜1，

當x＝0時，f(0)＝1＞0，

當x＜0時，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1.

因為f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，

所以f(x)·f(－x)＝1，

所以f(x)＝＞0

故x∈R時，恒有f(x)＞0.

(3)設x1，x2∈R，且x1＜x2，

則f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，

所以f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．

由(2)知f(x1)＞0，又x2－x1＞0，

所以0＜f(x2－x1)＜1，

故f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)在R上是減函數．