Question

已知點A（-1，0）、B（1，0），△ABC的周長為2+2

2

．記動點C的軌跡為曲線W．
（1）直接寫出W的方程（不寫過程）；
（2）經過點（0，

2

）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，是否存在常數k，使得向量

OP

+

QO

與向量(-

2

，1)共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．
（3）設W的左右焦點分別為F₁、F₂，點R在直線l：x-

3

y+8=0上．當∠F₁RF₂取最大值時，求

|RF1|

|RF2|

的值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義能夠直接寫出W的方程．
（2）設直線l的方程為y=kx+

2

，代入橢圓方程，得（

1

2

+k²）x²+2

2

kx+1=0．因為直線l與橢圓有兩個不同的交點，所以△=8k²-4（

1

2

+k²）=4k²-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

QO

=（x₁+x₂，y₁+y₂），x₁+x₂，=-

4 2 k

1+2k2

．y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

．所以

OP

+

QO

與向量（-2，1）共線等價于x₁+x₂=-

2

（y₁+y₂），由此能夠推導出不存在常數k，使得向量

OP

+

QO

與

MN

共線．
（3）當∠F₁RF₂取最大值時，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切．由此能求出當∠F₁RF₂取最大值時，求

|RF1|

|RF2|

的值．

解答：解：（1）W：

x2

2

+y²=1（y≠0）．
（2）設直線l的方程為y=kx+

2

，代入橢圓方程，得

x2

2

+（kx+

2

）²=1．
整理，得（

1

2

+k²）x²+2

2

kx+1=0．①
因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于
△=8k²-4（

1

2

+k²）=4k²-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

QO

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由①得x₁+x₂，=-

4 2 k

1+2k2

．②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

             ③
所以

OP

+

QO

與向量（-2，1）共線等價于x₁+x₂=-

2

（y₁+y₂），
將②③代入上式，解得k=

2

2

．
所以不存在常數k，使得向量

OP

+

QO

與

MN

共線
（3）當∠F₁RF₂取最大值時，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切．
直線l與x軸于S（-8，0），∵△F₁SR∽△RSF₂∴

|RF1|

|RF2|

=

|SF1|

|SR|

=

|SR|

|SF2|

=

|SF1| |SR| |SR| |SF2|

=

|SF1| |SF2|

=

7

3

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．