Question

【題目】（題文）（12分）設f（x）=2x3+ax2+bx+1的導數為f′（x），若函數y=f′（x）的圖象關于直線x=﹣對稱，且f′（1）=0

（Ⅰ）求實數a，b的值

（Ⅱ）求函數f（x）的極值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=3 b=﹣12（Ⅱ）f（1）=﹣6

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先對f（x）求導，f（x）的導數為二次函數，由對稱性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b

（Ⅱ）對f（x）求導，分別令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的單調區間，繼而確定極值．

解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b

從而f′（x）=6y=f′（x）關于直線x=﹣對稱，

從而由條件可知﹣=﹣，解得a=3

又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1

f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）

令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2

當x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函數；

當x∈（﹣2，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是減函數；

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數．

從而f（x）在x=﹣2處取到極大值f（﹣2）=21，在x=1處取到極小值f（1）=﹣6．