Question

【題目】設函數，其中．

（Ⅰ）試討論的單調性；

（Ⅱ）若函數存在極值，對于任意的，存在正實數，使得 ，試判斷與的大小關系并給出證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ），證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求得的導數，并分解因式，討論和，判斷導數的符號，即可得到所求單調性；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，存在極值．由條件知，求出，，作差，運用構造函數法，求出導數，判斷單調性，即可得到所求大小關系．

解：（Ⅰ）因為的定義域為，

屬于，

當時，，在上單調遞增；

當時，則由得或（舍去），

故時，；時，，

所以，在上單調遞增，在上單調遞減；

綜上所述，當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，存在極值．

，

由條件知，，

又，

則

，

設，由，可得，

則，

令，，

可得 恒成立，

則在單調遞增，則（1），

則，即，

則，

即，

又在上單調遞減，

則，

即有．