Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的頂點(diǎn)為A₁，A₂，B₁，B₂，焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，，|A₁B₁|=

7

，S_?A1B1A2B2=2S_?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，且|

OP

|=1，是否存在上述直線l使

AP

•

PB

=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)知a²+b²=7，由已知條件得知a=2c，從而解得a，b即求出其方程．
（Ⅱ）考慮兩種情況，一是l與x軸垂直，結(jié)合條件判斷得知此時(shí)符合題意；二是l與x軸不垂直，設(shè)其方程為y=kx+m，由|

OP

|=1，得知m²=k²+1，再由

AP

•

PB

=1和|

OP

|=1得知OA⊥OB，即找到x₁x_2⁺y₁y₂=0，然后直線和橢圓聯(lián)解得到m與k的第二個(gè)關(guān)系式，聯(lián)解知無解．所以第二種不符合題意．故只有第一種符合題意．因此存在直線l滿足條件．

解答：解：（Ⅰ）由|A1B1|=

7

知a²+b²=7，①
由S_□A1B1A2B2=2S_□B1F1B2F2 知a=2c，②
又b²=a²-c²                   ③
由 ①②③解得a²=4，b²=3，
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
若l垂直于x軸時(shí)，p點(diǎn)即是右焦點(diǎn)（1，0），此時(shí)不滿足

AP

•

PB

=1，直線l的方程不存在．
若l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|

OP

|=1得

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1  ④
∵

AP

•

PB

=1，|

OP

|=1，得知OA⊥OB所以x₁x_2⁺y₁y₂=0，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
x1x2=

4m2-12

3+4k2

，x1+x2=

-8km

3+4k2

，
又y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

3m2-12k2

3+4k2

，代入x₁x_2⁺y₁y₂=0中得7m²-12k²-12=0．⑤
由④⑤可知無解．所以此時(shí)l不存在．
故不存在直線方程使

AP

•

PB

=1成立．

點(diǎn)評：此題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，及直線和橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用．