Question

設函數

(I)討論的單調性；

（II）若有兩個極值點和，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）（1）當時，故在上單調遞增 ；

（2）當時，的兩根都小于，在上，，

故在上單調遞增；

（3）分別在上單調遞增，在上單調遞減．

（II）不存在，使得 

【解析】

試題分析：（I）的定義域為        1分

令，其判別式                   2分

（1）當時，故在上單調遞增        3分

（2）當時，的兩根都小于，在上，，

故在上單調遞增                       4分

（3）當時，的兩根為，

當時， ；當時， ；當時， ，故分別在上單調遞增，在上單調遞減．     6分

（II）由（I）知，．因為，

所以               7分

又由(I)知，．于是               8分

若存在，使得則．即．     9分

亦即                     0分

再由（I）知，函數在上單調遞增，         11分

而，所以這與式矛盾．

故不存在，使得                       12分

考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、極值，存在性問題探討。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。通過研究函數的單調區間，得到直線斜率表達式。存在性問題，往往要假設存在，利用已知條件探求。本題涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。