Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E為BC上一動點（不與B重合），作EF⊥AB于F，FE的延長線交DC的延長線于點G，設BE=x，△DEF的面積為S．
（1）求證：△BEF∽△CEG；
（2）求用x表示S的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當E運動到何處時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）要證明△BEF∽△CEG，只需要證明∠BFG=∠G，且∠BEF=∠CEG，即可；
（2）由（1）知DG為△DEF中EF邊上的高，在Rt△BFE中，∠B已知，EF可求；在Rt△CEG中，CE=3-x，則GC可求，
∴DG=GC+CD可求，∴△DEF的面積S可表示出來；
（3）函數S是二次函數，二次項系數a=-

3

8

＜0，對稱軸x=

11

2

，易得x=3時，S取最大值，是3

3

．

解答：（1）證明：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴EF⊥DG．∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG；
（2）解：由（1）得DG為△DEF中EF邊上的高，設BE=x，
在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB=

3

2

x．
在Rt△CEG中，CE=3-x，GC=(3-x)cos60°=

3-x

2

，∴DG=DC+GC=

11-x

2

，
∴S=

1

2

EF•DG=-

3

8

x2+

11 3

8

x，（其中0＜x≤3）；
（3）解：∵a=-

3

8

＜0，對稱軸x=

11

2

＞3，∴當0＜x≤3時，S隨x的增大而增大，
所以，當x=3時，即E與C重合時，取最大值：Smax=3

3

．

點評：本題考查了相似三角形的證明，三角形的面積公式應用和求二次函數在某一區間上的最值問題，屬于中檔題．