Question

【題目】某企業新研發了一種產品，產品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產品的非原料成本（元）與生產該產品的數量（千件）有關，經統計得到如下數據：

根據以上數據，繪制了散點圖.

觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關關系，現考慮用反比例函數模型和指數函數模型分別對兩個變量的關系進行擬合.已求得用指數函數模型擬合的回歸方程為，與的相關系數.參考數據（其中）：

（1）用反比例函數模型求關于的回歸方程；

（2）用相關系數判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.01），并用其估計產量為10千件時每件產品的非原料成本；

（3）該企業采取訂單生產模式（根據訂單數量進行生產，即產品全部售出）.根據市場調研數據，若該產品單價定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產品的原料成本為10元，根據（2）的結果，企業要想獲得更高利潤，產品單價應選擇100元還是90元，請說明理由.

參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，，相關系數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當產量為10千件時，每件產品的非原料成本為21元；（3）見解析

【解析】

（1）令，則可轉化為，分別求出的值，即可求解；

（2）直接利用相關關系公式求得與的相關系數，可得，得到用反比例函數模型擬合效果更好，取，可得當千件時，每件產品的分原料成本；

（3）分別求出產品單價為100元與產品單價為90元企業的利潤，即可得到答案．

（1）令，則可轉化為，

因為，所以，

則，所以，

所以關于的回歸方程為；

（2）與的相關系數為：

，

因為，所以用反比例函數模型擬合效果更好，

當時，（元），

所以當產量為10千件時，每件產品的非原料成本為21元；

（3）（i）若產品單價為100元，記企業利潤為（千元），

訂單為9千件時，每件產品的成本為元，企業的利潤為611（千元），

訂單為10千件時，每件產品的成本為31元，企業的利潤為690（千元），

企業利潤（千元）的分布列為

	611	690
	0.8	0.2

所以（千元）；

（ii）若產品單價為90元，記企業利潤為（千元），

訂單為10千件時，每件產品的成本為31元，企業的利潤為590（千元），

訂單為11千件時，每件產品的成本為元，企業的利潤為659（千元），

企業利潤（千元）的分布列為

	590	659
	0.3	0.7

所以（千元），

故企業要想獲得更高利潤，產品單價應選擇90元.