Question

【題目】窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一．圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個正十字形剩下的部分，正十字形的頂點都在圓周上．已知正十字形的寬和長都分別為x，y（單位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面積為4dm2．

（1）求y關于x的函數解析式，并求其定義域；

（2）現為了節約紙張，需要所用圓形紙片面積最小．當x取何值時，所用到的圓形紙片面積最小，并求出其最小值．

Answer 1

【答案】（1）y關于x的函數解析式，定義域為(0，2)；

（2）當x取，所用到的圓形紙片面積最小，最小值為．

【解析】

（1）利用正十字形面積可構造關于的等式，整理可得函數關系式；利用且可解不等式求得定義域；（2）利用外接圓直徑可得，利用基本不等式可求得的最小值及取得最小值時的取值，代入圓的面積公式即可求得面積的最小值.

（1）由題意可得：，則：

且，即

關于的解析式為，定義域為

（2）設正十字形的外接圓的直徑為

當且僅當，即時取等號

即時，

正十字形外接圓面積：

即正十字形外接圓面積的最小值為：，此時