Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．
（1）當a=2時，求函數f（x）的最值；
（2）當a≠0時，過原點分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l1 ， l2 ， 已知兩切線的斜率互為倒數，證明： ＜a＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，f（x）=lnx﹣2（x﹣1）的定義域為（0，+∞），

f′（x）= ﹣2= ；

當x∈（0， ）時，f′（x）＞0，當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，

即函數f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減．

所以f（x）max=f（ ）=1﹣ln2，沒有最小值

（2）解：證明：設切線l2的方程為y=k2x，切點為（x2，y2），則y2= ，

k2=g′（x2）= = ，

所以x2=1，y2=e，則k2=e．

由題意知，切線l1的斜率為k1= = ，l1的方程為y= x；

設l1與曲線y=f（x）的切點為（x1，y1），則k1=f′（x1）= ﹣a= = ，

所以y1= =1﹣ax1，a= ﹣ ．

又因為y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，

整理得lnx1﹣1+ ﹣ =0．

令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ =0，

則m′（x）= ﹣ = ，m（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．

若x1∈（0，1），因為m（ ）=﹣2+e﹣ ＞0，m（1）=﹣ ＜0，所以x1∈（ ，1），

而a= ﹣ 在x1∈（ ，1）上單調遞減，所以 ＜a＜ ．

若x1∈（1，+∞），因為m（x）在（1，+∞）上單調遞增，且m（e）=0，則x1=e，

所以a= ﹣ =0（舍去）．

綜上可知， ＜a＜

【解析】（1）當a=2時，f（x）=lnx﹣2（x﹣1）的定義域為（0，+∞），再利用導數求函數的單調區間，從而求解函數的最值；（2）設切線l2的方程為y=k2x，從而由導數及斜率公式可求得切點為（1，e），k2=e；再設l1的方程為y= x；設l1與曲線y=f（x）的切點為（x1 ， y1），從而可得y1= =1﹣ax1 ， a= ﹣ ；結合y1=lnx1﹣a（x1﹣1）可得lnx1﹣1+ ﹣ =0，再令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ ，從而求導確定函數的單調性，從而確定 ＜a＜ ，問題得證．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．