Question

在直角坐標系中，動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是，設動點的軌跡為，是動圓上一點.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設曲線上的三點與點的距離成等差數列，若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率；
（3）若直線與和動圓均只有一個公共點，求、兩點的距離的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

本試題主要考查了軌跡方程的求解和橢圓的定義，以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。
解：（1）由已知，得，…………………………1分.
將兩邊平方，并化簡得，     …………………………3分.
故軌跡C₁的方程是。              ………………4分.
（2）由已知可得，，，
因為2|BF|=|AF|=|CF|，所以
即得，  ①                          …………………………5分.
故線段AC的中點為，其垂直平分線方程為， ②
…………………………6分.
因為A,C在橢圓上，故有，，兩式相減，
得：   ③
將①代入③，化簡得，   ④ ………………………7分.
將④代入②，并令y=0得，x=1/2，即T的坐標為(1/2,0)。………………………8分.
所以.                            ………………………9分.
設、，直線的方程為
因為P既在橢圓C₁上又在直線上，從而有
將（1）代入（2）得        ………10分.
由于直線PQ與橢圓C₁相切，故
從而可得，            （3）
同理，由Q既在圓上又在直線上，可得
，                 （4）……………………12分
由（3）、（4）得，
所以 ……………………13分.
即，當且僅當時取等號，
故P,Q、兩點的距離的最大值. …………………………14分.