Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位 的圖象,然后證明是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（Ⅱ）求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)工具對(duì)、和分三種情況進(jìn)行討論.

試題解析：

解：（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，.

將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.因?yàn)閷?duì)任意，，且，所以函數(shù)是奇函數(shù).所以函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

（Ⅱ）由，得

①當(dāng)時(shí)，.

所以的遞減區(qū)間是.

②當(dāng)時(shí)，及隨的變化情況如下表：

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，.

③當(dāng)時(shí)，及隨的變化情況如下表：

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，.