Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)。

①求的最大整數(shù)值；

②證明：

Answer 1

【答案】(1) .

(2) ①2；②證明見解析.

【解析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出斜率，然后利用點(diǎn)斜式求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）①函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立.先證明，設(shè)，則，推出

當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，即不恒成立，可得的最大整數(shù)值為；②由①知，，令，由此可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.....；當(dāng)時(shí)，，即可得出結(jié)論.

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，

∴

又，

所以

所求切線方程為，即

（2）由題意知，

若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立，

①先證明，設(shè)，則

則函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

所以，即

同理可證，

所以，

所以

當(dāng)時(shí)，恒成立，

當(dāng)時(shí)，，即不恒成立

綜上所述，的最大整數(shù)值為

②由①知，，令

所以，

所以

由此可知，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，.....，

當(dāng)時(shí)，

累加得

又

所以

即