Question

【題目】已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方．

（1）求圓的方程；

（2）若直線過點且與圓交于，兩點（在軸上方，在軸下方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】

試題分析：（1）設出圓心坐標，根據直線與圓相切，得到圓心到直線的距離，確定出圓心坐標，即可得出圓方程；（2）當直線軸，則軸平分，當直線斜率存在時，設直線方程為，聯立圓與直線方程，消去得到關于的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，由若軸平分，則，求出的值，確定出此時坐標即可．

試題解析：

（1）設圓心（），則，解得或（舍），所以圓：．

（2）當直線軸時，軸平分，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

，，，

由得，

∴，，

若軸平分，則，即，

所以，即，

，解得，

所以當點時，能使得總成立．