Question

【題目】已知函數，，．

（1）當，時，求函數的單調區間；

（2）當時，若對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設函數的圖象在兩點，處的切線分別為，，若，，且，求實數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）單調減區間是，單調增區間是（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）先化簡分段函數，分段分別求導，即再求導函數零點：當，無零點，單調減；當，有一個零點，列表分析得在上單調遞減；在上單調遞增；最后綜合函數圖像得函數單調區間（2）不等式恒成立問題，一般轉化為對應函數最值問題，即，因此轉化為利用導數求函數最小值：當，時，，求其定于區間上零點為1，列表分析函數單調性，確定函數極值，即最值，最后解不等式得負數的取值范圍；（3）由導數幾何意義得，由分段點可確定，而需分類討論：若，則；若，則，分別代入，探求實數的解的情況：，，先求出的取值范圍，再利用導數求函數最小值

試題解析：函數求導得

（1）當，時，

①若，則恒成立，所以在上單調遞減；

②若，則，令，解得或（舍去），

若，則，在上單調遞減；

若，則，在上單調遞增；

綜上，函數的單調減區間是，單調增區間是．

（2）當，時，，而，

所以當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

所以函數在上的最小值為，

所以恒成立，解得或（舍去），

又由，解得，

所以實數的取值范圍是．

（3）由知，，而，則，

若，則，

所以，解得，不合題意，

故，則，

整理得，

由，得，令，則，，

所以，設，則，

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

所以函數的最小值為，

故實數的最小值為．