Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數n都有S_n=n²+

1

2

a_n．
（1）證明：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設f（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）..（1-

1

an

）

2n+1

，求證：f（n+1）＜f（n）對一切n∈N^×都成立．

Answer 1

分析：（1）由S_n=n²+

1

2

a_n．可得到S_n+1=（n+1）²+

1

2

a_n+1．兩式作差即可．
（2）由a_n+1+a_n=4n+2變形轉化為a_n+1-2（n+1）=-（a_n-2n）=…=（-1）ⁿ（a₁-2）求解．
（3）由（2）將f（n）=（1-

1

2

）（1-

1

4

）（1-

1

6

）…（1-

1

2n

）

2n+1

化簡，再用作商法比較證明其單調性．

解答：解：（1）∵S_n=n²+

1

2

a_n．①
∴S_n+1=（n+1）²+

1

2

a_n+1．②
∴②-①得：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）∵a_n+1+a_n=4n+2；
∴a_n+1-2（n+1）=-（a_n-2n）=…=（-1）ⁿ（a₁-2）；
又a₁=2
∴a_n=2n
（3）∵f（n）=（1-

1

2

）（1-

1

4

）（1-

1

6

）…（1-

1

2n

）

2n+1

∴

f(n+1)

f(n)

= 

4n2+8n+3 4n2+8n+4

 ＜1
∴f（n+1）＜f（n）對一切n∈N^×都成立．

點評：本題主要考查了數列的通項與前n項和間的關系，其通項公式的求法以及數列單調性的證明，同時，還考查了轉化思想和運算能力，分析問題的能力，屬中檔題．