【題目】已知函數
， 
.
（1）令
，討論函數
的單調性；
（2）若對任意
，都有
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
時， 
在
遞增， 
遞減； 
時， 
在
遞增；
時， 
在
和
遞增， 
遞減； 
時， 
在
和
遞增， 
遞減；（2）
.
【解析】試題分析：（1）求出函數
的解析式和定義域，求導，對實數
分情況討論得出單調性；（2）若任意
,都有
恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),
只需
即可，由（1）中的單調性，求出
的最小值，再求出
的范圍。
試題解析：(1)解：h(x)=f(x)-g(x)= 
,定義域為
,（x>0）
a
0時， 
>0得x>1; 
<0得0<x<1.
所以h(x)在（1， 
）遞增，（0,1）遞減
a=1時， 
，所以h(x)在（0， 
）遞增
0<a<1時， 
>0得0<x<a,或x>1; 
<0得a<x<1.所以h(x)在（0,a）和(1, 
)遞增，(a,1)遞減
a>1時， 
>0得0<x<1，或x>a； 
<0得1<x<a. 所以h(x)在（0,1）和(a, 
)遞增，(1,a)遞減
綜上： a
0時，h(x)在（1， 
）遞增，（0,1）遞減
a=1時，h(x)在（0， 
）遞增
0<a<1時，h(x)在（0,a）和(1, 
)遞增，(a,1)遞減
a>1時，h(x)在（0,1）和(a, 
)遞增，(1,a)遞減
(2) 若任意
,都有
恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),
只需
即可
由（1）知， 
時，h(x)在
遞增， 
=h(1)=4-a
0,解得a
4.又
，所以
，
a
e時，h(x)在
遞減， 
=h(e)= 
解得
,又a
e，所以 
,1<a<e時，h(x)在
遞減， 
遞增。
=h(a)=a-(a+1)lna-1+3=a+2-(a+1)lna
0
因為
，所以h(a)在(1,e)遞減。所以
，則h(a) 
0恒成立，所以1<a<e ,綜上：a
.
精英口算卡系列答案
應用題點撥系列答案
狀元及第系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高中有高一新生500名，分成水平相同的
兩類教學實驗，為對比教學效果，現用分層抽樣的方法從兩類學生中分別抽取了40人，60人進行測試
（1）求該學校高一新生兩類學生各多少人？
（2）經過測試，得到以下三個數據圖表：
圖1：75分以上兩類參加測試學生成績的莖葉圖
圖2：100名測試學生成績的頻率分布直方圖
下圖表格：100名學生成績分布表：
①先填寫頻率分布表中的六個空格，然后將頻率分布直方圖（圖2）補充完整；
②該學校擬定從參加考試的79分以上（含79分）的
類學生中隨機抽取2人代表學校參加市比賽，求抽到的2人分數都在80分以上的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018河北保定市上學期期末調研】已知點
到點
的距離比到
軸的距離大1．
（I）求點
的軌跡
的方程；
（II）設直線
： 
，交軌跡
于
、
兩點， 
為坐標原點，試在軌跡
的
部分上求一點
，使得
的面積最大，并求其最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】工廠需要圍建一個面積為512
的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長度
（單位： 
）是利用原有墻壁長度
（單位： 
）的函數．
（1）寫出
關于
的函數解析式，確定
的取值范圍．
（2）堆料場的長、寬之比為多少時，需要砌起的新墻用的材料最省？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．
（1）解不等式f（x）＜g（x）；
（2）若2f（x）+g（x）＞ax對任意的實數x恒成立，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在底面為正方形的四棱錐P－ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，點E是線段PC的中點．
（1）求異面直線AP與BE所成角的大小；
（2）若點F在線段PB上，使得二面角F－DE－B的正弦值為
，求
的值．
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