Question

在直角坐標系x0y中，橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=

5

3

．
（Ⅰ）求M點的坐標及橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）已知直線l∥OM，且與橢圓C₁交于A，B兩點，提出一個與△OAB面積相關(guān)的問題，并作出正確解答．

Answer 1

（Ⅰ）由拋物線C₂：y²=4x 知 F₂（1，0），設(shè)M（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），M在C₂上，且|MF₂|=

5

3

，所以x₁+1=

5

3

，得x₁=

2

3

，代入y²=4x，得y₁=

2 6

3

，
所以M（

2

3

，

2 6

3

）．                                                     
M在C₁上，由已知橢圓C₁的半焦距 c=1，于是

4 9a2 + 8 3b2 =1 b2=a2-1

消去b²并整理得 9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（a=

1

3

不合題意，舍去）．
故橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                      
（Ⅱ）由y=

6

（x-m）得

6

x-y-

6

m=0，所以點O到直線l的距離為
d=

| 6 m|

7

，又|AB|=

4 7

9

9-2m2

，
所以S△OAB=

1

2

|AB|d=

2 6

9

-2m4+9m2

，
-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

且m≠0．                                      
下面視提出問題的質(zhì)量而定：
如問題一：當△OAB面積為

2 42

9

時，求直線l的方程．（y=

6

（x±1））      
問題二：當△OAB面積取最大值時，求直線l的方程．（y=

6

（x±

3

2

））