Question

(12分)如圖，在棱長為2的正方體ABCD -A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為A₁D₁和CC₁ 的中點．

(1)求證：EF∥平面ACD₁；
(2)求面EFB與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．

Answer 1

解：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x 軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B₁(2，2，2)、D₁(0，0，2)、E(1，0，2 )、F(0，2，1)．
（1）取AD₁中點G，則G（1，0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），由=，   ∴與共線．從而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG平面ACD₁，EF平面ACD₁，∴EF∥平面ACD₁.………………………（6分）網
（2）設面EFB的一個法向量，由得，故可取，………（8分）取底面ABCD的一個法向量，由，所成的銳二面角余弦值的大小為．……（12分）