Question

關于平面向量

a

、

b

、

c

，有下列三個命題：
①若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

②若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，則k=-3
③非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為60°．
④若

a

=（λ，-2），

b

=（-3，5），且

a

與

b

的夾角是鈍角，則λ的取值范圍是λ∈（-

10

3

，+∞）
其中正確命題的序號為

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：平面向量及應用

分析：①，利用向量的運算性質，可得

a

⊥（

b

-

c

），從而可判斷①；
②，利用向量共線的坐標運算可求得k=-3，可判斷②；
③，設非零向量

a

和

b

的夾角為θ，依題意，可求得θ=60°，而

a

+

b

的方向與

a

、

b

的角平分線位于同一直線上，則

a

與

a

+

b

的夾角為30°，可判斷③；
④，依題意，知-3λ-10＜0且-3λ-10≠-1，求得λ的取值范圍是λ∈（-

10

3

，-3）∪（-3，+∞），可判斷④．

解答： 解：對于①，若

a

•

b

=

a

•

c

，則

a

•（

b

-

c

）=0，即

a

⊥（

b

-

c

），故①錯誤；
對于②，若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，則1×6-k×（-2）=0，解得k=-3，故②正確；
對于③，設非零向量

a

和

b

的夾角為θ，
則丨

a

-

b

丨²=

a

²+

b

²-2|

a

||

b

|cosθ，
由于|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，可得cosθ=

1

2

，故θ=60°

a

+

b

的方向與

a

、

b

的角平分線位于同一直線上，
則

a

與

a

+

b

的夾角為30°，故③錯誤；
對于④，若

a

=（λ，-2），

b

=（-3，5），且

a

與

b

的夾角是鈍角，則-3λ-10＜0且-3λ-10≠-1，
解得：λ的取值范圍是λ∈（-

10

3

，-3）∪（-3，+∞），故④錯誤．
故答案為：②．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查平面向量的數量積及平面向量的加減運算，考查分析、運算及求解能力，屬于中檔題．