Question

【題目】已知圓柱OO1底面半徑為1，高為π，ABCD是圓柱的一個軸截面.動點M從點B出發沿著圓柱的側面到達點D，其距離最短時在側面留下的曲線Γ如圖所示.將軸截面ABCD繞著軸OO1逆時針旋轉θ（0＜θ＜π）后，邊B1C1與曲線Γ相交于點P.

（1）求曲線Γ長度；

（2）當時，求點C1到平面APB的距離；

（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小為？若存在，求出線段BP的長度；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）π；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）將圓柱一半展開后底面的半個圓周變成長方形的邊BA，曲線Γ就是對角線BD，從而可求曲線Γ長度；
（2）當θ時，點B1恰好為AB的中點，所以P為B1C1中點，故點C1到平面APB的距離與點B1到平面APB的距離相等.
（3）由于二面角D﹣AB﹣B1為直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否為即可.

解：（1）將圓柱一半展開后底面的半個圓周變成長方形的邊BA，曲線Γ就是對角線BD.

由于AB＝πr＝π，AD＝π，所以這實際上是一個正方形.

所以曲線Γ的長度為BDπ.

（2）當θ時，點B1恰好為AB的中點，所以P為B1C1中點，

故點C1到平面APB的距離與點B1到平面APB的距離相等.

連接AP、BP，OP.

由AB⊥B1P且AB⊥A1B1知：AB⊥平面A1B1P，從而平面A1B1P⊥平面APB.

作B1H⊥OP于H，則B1H⊥平面APB，所以B1H即為點B1到平面APB的距離.

在Rt△OB1P中，

由（1）可知，圓柱的一半展開后得到一個正方形，所以

所以.

于是：.

所以，點C1到平面APB的距離為.

（3）由于二面角D﹣AB﹣B1為直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否為即可.

過B1作B1Q⊥AB于Q，連接PQ.

由于B1Q⊥AB，B1P⊥AB，所以AB⊥平面B1PQ，所以AB⊥PQ.

于是∠PQB1即為二面角P﹣AB﹣B1的平面角.

在Rt△PB1Q中，.

由（2）有

若，則需B1P＝B1Q，即sinθ＝θ.

令f（x）＝sinx﹣x（0＜x＜π），則f′（x）＝cosx﹣1＜0，

故f（x）在（0，π）單調遞減.

所以f（x）＜f（0）＝0，即sinx＜x在（0，π）上恒成立.

故不存在θ∈（0，π），使sinθ＝θ.

也就是說，不存在θ∈（0，π），使二面角D﹣AB﹣P為.