Question

已知數列{a_n} 的前n項和為S_n，且S_n+a_n=

n2+3n+5

2

．
（1）證明：數列{a_n-n}為等比數列；
（2）設b_n=S_n+

5

2n+1

-

5

2

，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由題意知當n=1時，2a1=

1+3+5

2

?a₁=

9

4

，a₁-1=

5

4

，n≥2時a_n=S_n-S_n-1，得2a_n-a_n-1=n+1，即可證明結論；
（2）先由（1）求得數列{b_n}的通項公式并整理成b_n=

n2+n

2

，從而

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，然后利用列項求和求出Tn=2（1-

1

n+1

），求出數列{b_n}的前n項和 T_n＜2．

解答：證明：（1）當n=1時，
2a1=

1+3+5

2

?a₁=

9

4

，a₁-1=

5

4

當n≥2時，S_n+a_n=

n2+3n+5

2

    ①
S_n-1+a_n-1=

(n-1)2+3(n-1)+5

2

   ②
①-②得2a_n-a_n-1=n+1
∴2a_n=a_n-1+（n+1）
即2a_n-2n=a_n-1-（n-1），2（a_n-n）=a_n-1-（n-1），
即

an-n

an-1- (n-1)

=

1

2

∴數列數列{a_n-n}是以

5

4

為首項，

1

2

為公比的等比數列．
（2）由（1）得a_n-n=

5

4

•(

1

2

)n-1
∴a_n=n+

5

4

•(

1

2

)n-1
∴S_n=

n2+3n+5

2

-n-

5

2n+1

=

n2+n+5

2

-

5

2n+1

∴b_n=S_n+

5

2n+1

-

5

2

=

n2+n

2

∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

- 

1

n+1

 )
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）

=2（1-

1

n+1

）＜2．

點評：本題考查了等比數列的判定，此題采取裂項的方法求和，考查分析解決問題的能力和運算能力，屬于難題．