Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得在上的最大值為,若存在，求滿足條件的a的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在上遞增；當(dāng)或時(shí)， ，∴在上遞減；當(dāng)且時(shí)， 在上遞增，在上遞減.（2）存在，且的個(gè)數(shù)為1.

【解析】試題分析：（1），當(dāng)時(shí)， 在上遞增,當(dāng)即或時(shí)， 在上遞減,當(dāng)且時(shí)，令得,即可得在上遞增，在上遞減. （2）由（1）知即，即，設(shè)，易知為增函數(shù)，且，所以的唯一零點(diǎn)在上,a的個(gè)數(shù)即得解.

試題解析：

（1），

當(dāng)時(shí)， 在上遞增

當(dāng)即或時(shí)， ，∴在上遞減

當(dāng)且時(shí)，令得

令得；令得

∴在上遞增，在上遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上遞增；當(dāng)或時(shí)， ，∴在上遞減；當(dāng)且時(shí)， 在上遞增，在上遞減.

（2）易知， 在上遞增，在上遞減.

∴

∴，即，

設(shè)，易知為增函數(shù)，且，

∴的唯一零點(diǎn)在上，∴存在，且的個(gè)數(shù)為1.