Question

【題目】（題文）已知函數的兩個零點為．

（1）求實數m的取值范圍；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求導數，分類討論，利用函數的兩個零點，得出

，即可求實數的取值范圍；

（2）由題意，方程有兩個根為，不妨設，要證明，即證明，即證明，令，證明對任意恒成立即可.

（1），當時，，

在上單調遞增，不可能有兩個零點；

當時，由可解得，由可解得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

要使得在上有兩個零點，則，解得，

則m的取值范圍為．

（2）令，則，

由題意知方程有兩個根，

即方程有兩個根，

不妨設，，令，

則當時，單調遞增，時，單調遞減，

綜上可知，，

要證，即證，即，即證，

令，下面證對任意的恒成立，

∵，∴，

∴

又∵，∴

∴，則在單調遞增

∴，故原不等式成立．